DERET GEOMETRI | BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Jika pada bahasan sebelumnya saya telah menjelaskan mengenai deret aritmatika dan rumus-rumusnya, maka kali ini saya akan menjelaskan tentang deret geometri atau barisan deret geometri. Sebenarnya prinsipnya kedua deret ini memiliki perilaku yang sama yakni nilai-nilai yang ada pada deret terdapat hubungan yang teratur, seperti nilai deret selanjutnya terpengaruh oleh nilai deret sebelumnya. Misal pada deret tersebut 2, 6, 18, 54, maka bisa kita simpulkan bahwa nilai deret selanjutnya adalah 162, hal ini bisa kita cari tanpa melalui rumus. Karena sebenarnya pada deret ini masalahnya sederhana dan kita bisa pahami perilakunya dengan logika.

Jika anda mengenal adanya b (beda) pada deret aritmatika, maka pada deret geometri ini anda akan mengenal yang namanya r (rasio). Jika beda pada deret aritmatika didapat dari pengurangan antara nilai suku ke-n dengan nilai suku sebelumnya. Maka pada rasio adalah pembagian antara suku ke-n dengan sebelumnya. Jika kita contohkan dari deret di atas maka besarnya rasionya adalah 3 ( 6/2 atau 18/6 atau 54/18 dan seterusnya).

Sebenarnya materi deret aritmatika dan deret geometri ini sederhana dan mudah dipahami. Jika kita diminta untuk mencari nilai suku atau jumlah deret suku pada deret yang tidak terlalu jauh maka kita bisa menjawab hanya dengan menggunakan spontanitas logika kita. Tetapi bukan matematika namanya jika kita tidak mengembangkan deret ini pada pembahasan yang rumit dan kompleks serta pengujian pada setiap kombinasi deret yang mungkin ada. Pada soal-soal ujian biasanya soal deret ini banyak keluar tetapi dengan kerumitan yang lebih tinggi. Pada satu deret juga terkadang terdapat deret aritmatika dan deret geometrinya sehingga untuk mencari hasilnya anda harus memisahkan pada kelompok masing-masing deret terlebih dahulu. 

Ketentuan Rumus Deret Geometri :
Un = Suku ke-n
Sn = Jumlah suku ke-n
a = Nilai suku pertama
r = rasio


a, ar, ar² , .......arn-1
U1, U2, U3,......,Un 

Un = arn-1
Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
      = a(1-rn)/1-r , jika r<1 

Contoh Soal Deret Geometri :
1. Diketahui suatu deret geometri sebagai berikut : 1, 2, 4, 8, 16, ..., coba anda cari nilai suku ke-40 (U40) dan Jumlah Suku ke-40 (S40) dari deret terebut ?

Penyelesaian :
Diketahui :
a = 1
r = 2 ( 2/1 atau 4/2 atau 8/4 dan seterusnya)
n = 40

Ditanya : U40 dan S40 ?

Jawab :
U40  = arn-1
       = ar40-1
       = ar39
       = 1 x 239
       = 549.755.813.888

S40 = a(rn-1)/r-1 , karena r>1
       = 1 (240-1) / (2-1)
       = 1 (1.099.511.627.776 – 1) / 1
       = 1.099.511.627.775

Jadi dapat kita simpulkan bahwa nilai suku ke 40 dari deret geometri tersebut adalah 549.755.813.888 dan jumlah deret pada suku ke-40 adalah 1.099.511.627.775.

Mengapa pada deret geometri hasilnya sangat besar jika pada deret semakin jauh karena nilai deret selanjutnya didapat dari hasil perkalian tidak seperti pada deret aritmatika yang menggunakan penjumlahan. Waduh kepalaku sudah mulai pusing karena hari sudah menjelang magrib, sudah waktunya untuk pulang kerja. Jika anda masih kurang memahami mengenai materi deret geometri seperti yang telah saya jelaskan, mungkin anda perlu mencari referensi lain di internet. Tapi satu hal yang pasti yang harus anda ketahui di dalam ilmu matematika yaitu sering-seringlah latihan soal. Buatlah soal dari yang sangat sederhana sampai kondisi soal yang paling rumit agar anda bisa memahami perilaku dari setiap materi matematika yang ada. Jadi sebenarnya anda tidak perlu menghafal rumus-rumus yang ada, tetapi lebih pada memahaminya. Karena dengan memahaminya anda bisa menemukan rumus-rumus tersebut dengan sendirinya.

Soal-soal tentang deret aritmatika dan deret geometri juga selalu akan anda temui dalam setiap tes psikotest dan tes akademis lainnya seperti UMPTN.

Jika anda ingin membagikan artikel March 2012 ini, maka anda harus mencantumkan link sumbernya. Terimakasih, semoga bermanfaat.

DERET ARITMATIKA

Dulu waktu duduk di kelas 1 sma materi matematika yang paling aku sukai adalah deret aritmatika. Kalau tidak salah catur wulan ketiga dan guru pengajarnya adalah bapak Firdaus. Bapaknya bertubuh sedikit kecil dan berjenggot kurang lebat serta mata agak sedikit sipit. Haha. ini mau belajar deret aritmatika atau mau bicara tentang bapak guru waktu di sma dulu. Pada saat itu biasanya soal-soal yang ada di papan tulis harus diselesaikan oleh murid-murid yang ditunjuk. Jika ternyata murid tersebut tidak mampu untuk menyelesaikan soal deret aritmatikanya maka murid yang lain bisa maju ke depan kelas untuk membantu. Bukannya mau sombong tapi saya dulu termasuk salah seorang yang sangat nafsu untuk maju kedepan kelas untuk menjawab soal. Ya karena mungkin lagi mengerti aja dengan salah satu materi matematika ini.

Selain di bangku sekolah, pelajaran deret aritmatika juga sering kita temukan pada soal-soal psikotest. Soal-soal psikotest hampir selalu mengandung deret aritmatika, hanya saja aritmatika pada soal psikotes tidak sama persis dengan yang ada dipelajaran matematika. Pada pelajaran matematika ada rumus deret aritmatika yang memang digunakan sebagai solusi penyelesaian. Tapi pada soal psikotes biasanya bisa kita selesaikan dengan nalar dan mencoba memahami sifat dari deret tersebut.

Selain deret aritmatika ada juga yang disebut dengan deret geometri. Perbedaannya jika pada deret aritmatika menggunakan perhitungan penjumlahan sedangkan pada geometri adalah perkalian.

Rumus-rumus pada deret aritmatika :

Un = a + ( n - 1 ) b
Sn = 1/2 n ( a + Un )

Keterangan :
Un = Nilai suku ke-n
Sn = Jumlah suku ke-n
a = nilai suku pertama
b = beda
n = banyak suku

Contoh Soal Deret Aritmatika :
1. Diketahui sebuah deret aritmatika sebagai berikut : 2, 5, 8, 11, 14,...., hitung suku ke 12 dan jumlah suku ke 12?

Penyelesaian :
Diketahui :
a = 2
b = 3 (5-2 atau 8-5)
n = 12

Ditanya, Un dan Sn ?
Jawab :
Un = a + ( n - 1 ) b
      = 2 + ( 12 - 1 ) 3
      = 2 + 33
      = 35

Sn = 1/2 n ( a + Un )
     = 1/2 12 ( 2 + 35 )
     = 6 (37)
     = 222

Jadi dari jawaban di atas dapat kita simpulkan bahwa nilai suku pada deret ke-12 adalah 35 dan jumlah deret pada suku ke-12 adalah 222.

Atau yang lebih sederhana lagi saya contohkan sesuai soal deret aritmatika di atas sbb :
Nilai 8 pada deret tersebut disebut juga adalah U3 (suku ke-3) dan S3 nya adalah 2 + 5 +8 = 15.
Itu kalau kita cari secara sederhana, tetapi jika kita harus mencari nilai suku pada deret yang jauh maka kita akan kesulitan dan tentunya akan menghabiskan waktu jika tidak menggunakan rumus. Rumus tersebut sudah ditentukan oleh para ahli matematika. Sebenarnya anda juga bisa menemukan sendiri rumus tersebut dengan melakukan uji kebenaran pada masing-masing kondisi deret aritmatika yang ada. Sehingga nantinya akan diperoleh ketentuan tetap akan perilaku yang ada pada deret aritmatika tersebut.

Rumus deret aritmatika lainnya :
Ut (suku tengah) = 1/2 ( U1 + Un )
Sn = Sn / n
Un = Sn - (1/2 Sn)

Mungkin itu saja yang bisa saya jelaskan mengenai deret aritmatika kepada anda. Memang untuk contoh soal deret aritmatika tersebut di atas tergolong masih sangat sederhana dibanding dengan soal-soal yang sering muncul du UMPTN atau Soal Psikotest. Tetapi tentunya anda akan lebih mudah memahami materi aritmatika ini jika dimulai dari soal yang sederhana.
Jika anda ingin membagikan artikel March 2012 ini, maka anda harus mencantumkan link sumbernya. Terimakasih, semoga bermanfaat.

RUMUS LOGARITMA | RUMUS LOGARITMA LENGKAP

Biasanya di dalam matematika sering kita temui banyak sekali variasi rumus-rumus perhitungan mulai dari yang sangat sederhana sampai rumus yang paling rumit. Mungkin pernah terpikirkan oleh kita untuk apa sebenarnya rumus-rumus tersebut di dalam kehidupan kita sehari-hari. Kemana pengaplikasian dari rumus-rumus matematika itupun kadang kita tidak tahu. Padahal sebenarnya perhitungan-perhitungan matematika itu timbul dari kebutuhan yang ada di muka bumi ini. Menurut saya ilmu matematika itu seperti mengungkapkan rahasia dari ketentuan Tuhan akan dunia dan seisinya ini. Rumus logaritma ini adalah salah satu dari rumus-rumus matematika yang mungkin kita bingung untuk apa kegunaannya dalam kehidupan. Yang pasti kita ini hanya berupaya menghitung atau mengungkapkan rahasia-rahasia yang menjadi ketentuan Tuhan tersebut. Seandainya semua ketentuan-ketentuan yang ada termasuk ketentuan ilmu matematika itu tidak ada di muka bumi ini, maka saya pikir begitu pula dengan bumi ini juga akan tiada.

Berikut ini contoh rumus logaritma lengkap yang umum digunakan :
ª log a = 1
ª log 1 = 0
ª log aⁿ = n
ª log bⁿ = n • ª log b
ª log b • c = ª log b + ª log c
ª log b/c = ª log b – ª log c
ªˆⁿ log b m = m/n • ª log b
ª log b = 1 ÷ b log a
ª log b • b log c • c log d = ª log d
ª log b = c log b ÷ c log a
Sebenarnya pengembangan dari rumus-rumus logaritma di atas adalah berawal dari formula dasar logaritma yaitu :
ac = b → ª log b = c
a = basis
b = bilangan dilogaritma
c = hasil logaritma
Jika anda masih bingung mengenai sifat-sifat logaritma dan rumus fungsi logaritma coba anda perhatikan video berikut ini :



Jika anda ingin membagikan artikel March 2012 ini, maka anda harus mencantumkan link sumbernya. Terimakasih, semoga bermanfaat.

RUMUS BANGUN RUANG LENGKAP

Rumus Bangun Ruang Lengkap - Didalam matematika yang dimaksud dengan bangun ruang ini biasanya suatu bangun yang memiliki isi atau bentuk 3 dimensi (secara grafik : x, y, z). Atau secara sederhana anda bisa membayangkan sewaktu anda didalam ruangan. Anda dan semua benda-benda yang ada diruangan tersebut termasuk sebagai isi dari bangun ruang (ruangan tersebut). Jika suatu bangun itu tidak memilki isi atau hanya berbentuk 2 dimesi maka disebut sebagai bangun datar. Yang pasti pada suatu bangun ruang selalu ada volume atau isi. Semua benda yang ada di dunia ini sebenarnya sebagian besar berbentuk bangun ruang. Karena benda-benda tersebut kebanyakan mempunyai bentuk 3 dimensi. Hanya saja pada benda tersebut ada juga bagian yang disebut bangun datar yaitu pada bagian permukaannya saja.

Setiap bangun ruang memiliki rumus perhitungan yang berbeda-beda pula tergantung dari bentuknya masing-masing. Secara umum bangun ruang matematika digolongkan menjadi kubus, balok, bola, tabung, limas, kerucut dan prisma. Jika anda seorang ahli matematika biasanya anda sudah paham betul dengan rumus-rumus tersebut. Pada artikel ini saya coba tulis mengenai rumus bangun ruang dan gambarnya.

I. Kubus

Bangun Ruang Kubus

Ketetuan pada bangun ruang kubus :
a. Terdapat 6 (enam) buah sisi yang berbentuk persegi dengan masing-masing luasnya sama
b. Terdapat 12 (dua belas) rusuk dengan panjang yang sama
c. Semua sudut bernilai 90 derajat atau siku-siku
d. Rumus Volume Kubus = rusuk x rusuk x rusuk (rusuk pangkat 3)
e. Rumus Luas Permukaan Kubus = 6 x rusuk x rusuk
f. Luas salah satu sisi = rusuk x rusuk
g. Keliling kubus = 12 x rusuk
h. Panjang diagonal bidang = rusuk x V2
i. Panjang diagonal ruang = rusuk x V3

II. Balok

Bangun Ruang Balok

Ketentuan pada bangun ruang balok :
a. Terdapat 6 (enam) buah sisi yang berbentuk empat persegi panjang dengan luas yang sama
b. Terdapat 12 (dua belas) rusuk, masing-masing terdapat 4 (empat) rusuk dengan panjang yg sama.
c. Luas sisi balok yang berdapan adalah sama, dimana terbagi menjadi 3 bagian sisi yang saling berhadapan
d. Semua sudut pada balok adalah siku-siku
e. Rumus Volume Balok = p x l x t (sebenarnya sama dengan kubus, hanya saja kubus memiliki semua rusuk yang sama panjang).
f. Luas Permukaan Balok = 2 x {(pxl) + (pxt) + (lxt)}
g. Keliling Balok = 4 x (p + l + t)
h. Diagonal Ruang = Akar dari (p kuadrat + l kuadrat + t kuadrat)

III. Bola

Bangun Ruang Bola

Ketentuan pada bangun ruang bola :
a. Pada bola terdapat jari-jari dengan panjang yang sama ke segala arah dari titik pusat bola
b. Garis yang membelah bola melewati titik pusat adalah garis tengah ( 2 x jari-jari)
c. Bola itu berbentuk bundar merata kesegala arah
d. Rumus Volume Bola = 4/3 x phi x jari-jari x jari-jari x jari-jari
e. Rumus Luas Bola = 4 x phi x jari-jari x jari-jari
f. Phi = 3,14 atau 22/7

IV. Limas

Bangun Ruang Limas

Ketentuan pada bangun ruang limas :
a. Bisa mempunyai bentuk alas yang berbeda-beda seperti segitiga, segi empat, segi lima dan lain-lain.
b. Rumus untuk mencari volume limas adalah 1/3 x luas alas x tinggi
c. Mencari luas alas bergantung pada bentuk alas
d. Biasanya alas bersifat segi sedangkan jika bundar disebut kerucut.

Itulah sekilas tentang rumus bangun ruang lengkap yang bisa saya hadirkan untuk anda. Jika anda merasa beberapa contoh di atas tidak lengkap, maka anda bisa mencari lagi di search engine internet. Menurut saya pribadi pada dasarny rumus volume pada setiap bangun ruang itu prinsipnya adalah sama yaitu perkalian sumbu x, y dan z. Tetapi ada penyesuaian rumus dikarenakan bentuknya yang beragam.
Jika anda ingin membagikan artikel March 2012 ini, maka anda harus mencantumkan link sumbernya. Terimakasih, semoga bermanfaat.

RUMUS VOLUME BOLA | RUMUS LUAS BOLA

Rumus Volume Bola - Mungkin anda sudah mengenal dengan pasti apa itu bola dan bagaimana bentuknya. Sekarang ini salah satu olah raga yang sangat disukai oleh semua penduduk dunia tidak lain adalah permainan yang menyakut dengan si kulit bundar ini. Permainan itu mencakup sepak bola, bola basket, bola tenis, bola voli dan permainan yang menggunakan bola lainnya. Pernahkah anda coba untuk menghitung kira-kira berapa volume bola dari masing-masing bola permainan itu. Volume atau isi bola bisa anda hitung dengan menggunakan rumus volume bola sesuai perhitungan matematika. Semakin besar bola logikanya akan mempunyai volume yang lebih besar pula. 

Seperti halnya pada lingkaran, pada bola terdapat yang namanya jari-jari. Dengan hanya mengetahui panjang jari-jari bola anda sudah bisa untuk mendapatkan volume dan luas bola. Jika anda coba pahami sebenarnya lingkaran itu bisa dibuat hanya memutar garis dengan jarak tertentu (jari-jari) dari titik pusat dengan acuan bidang datar. Sedangkan pada bola jika anda mengacu kesegala arah. Hahaha..anda mungkin bingung dengan pernyataan saya tersebut, maklum itu merupakan bahasa sendiri.

Rumus Volume Bola | Rumus Luas Bola

Diketahui :

r = jari-jari
D = garis tengah
Phi = 3,14 atau 22/7

Volume Bola = 4/3 x phi x jari-jari x jari-jari x jari-jari
Luas Bola = 4 x phi x jar-jari x jari-jari

Jika anda perhartikan ternyata rumus luas bola adalah turunan dari rumus volume bola, mengapa ini bisa terjadi saya juga tidak mengerti.

Banyak sekali benda-benda yang berbentuk bola yang ada di muka bumi ini. Bumi dan planet-planetpun jika kita perhatikan sekilas dari jauh juga berbentuk bola. Di dalam matematika bola adalah salah satu dari jenis bangun ruang. 
Jika anda ingin membagikan artikel March 2012 ini, maka anda harus mencantumkan link sumbernya. Terimakasih, semoga bermanfaat.

RUMUS VOLUME KERUCUT

Rumus volume kerucut secara umum adalah 1/3 dikali luas alas dikali tinggi. Menurut saya pribadi apa yang membedakan antara kerucut dengan limas hanyalah bentuk alas. Dimana pada kerucut alasnya berbentuk lingkaran sedangkan pada limas berbentuk segitiga ataupun segi lainnya. Untuk rumus volume keduanya mempunyai rumus yang sama. Jika anda pernah melihat topi pak tani yang sering mereka pakai pada saat ke sawah maka topi tersebut bisa disebut berbentuk kerucut. 

Baik kerucut ataupun limas merupakan bangun ruang yang pembentukannya adalah dengan menarik garis keliling alas ke atas serta mengkerucut sehingga akan bertemu pada ketinggian tertentu. Tapi jangan heran jika pernyataan ini belum pernah anda dengar sebelumnya, ini karena itu hanyalah menurut pendapat saya pribadi. Mungkin anda mengartikan dalam susunan kata-kata lain sesuai pemahaman anda.

Rumus Volume Kerucut


Rumus luas permukaan kerucut adalah L = \ LuasLingkaran + LuasSelimut
     = \pi r^2 + \pi\cdot r\cdot s, atau
     = \pi r\cdot (r + s)

sedangkan untuk rumus luas selimut kerucut adalah L = \pi\ r\ s

Untuk mencari panjang s anda bisa menggunakan rumus phytagoras pada segitiga siku-siku. Dimana s adalah sisi miring, t adalah tinggi dan r adalah alas. Setelah panjang s sudah anda temukan maka barulah luas permukaan kerucut dan luas selimutnya bisa anda temukan.


Sepertinya otak saya juga sudah mengkerucut untuk bisa memberikan penjelasan mengenai materi bangun ruang satu ini. Maklum rokok saya sudah habis dan hari sudah menjelang sore. Coba anda pikirkan apa-apa saja benda yang ada disekitar kita yang mempunyai bentuk seperti kerucut. Topi pak tani salah satunya...haha.
Jika anda ingin membagikan artikel March 2012 ini, maka anda harus mencantumkan link sumbernya. Terimakasih, semoga bermanfaat.

RUMUS LIMAS | RUMUS VOLUME LIMAS

Mungkin anda sudah mengenal salah satu bangun ruang yang juga menjadi salah satu rumah adat suatu daerah yaitu adalah limas. Limas sendiri terdiri dari dari beberapa jenis yakni limas segitiga, limas segi empat, limas segi lima dan limas lainnya. Yang membedakan diantara limas-limas tersebut adalah bentuk alasnya. Dimana untuk limas segitiga artinya limas tersebut mempunyai bentuk alas segitiga dan begitu juga seterusnya. Secara garis besar kesemua limas tersebut adalah mempunyai rumus volume yang sama. Rumus volume limas secara umum yaitu 1/3 x luas alas x tinggi. Untuk menghitung luas alas tentunya menyesuaikan dari bentuk alas limas itu masing-masing.

Rumus Volume Limas


I. Limas Segitiga

Pada limas segitiga mempunyai alas yang berbentuk segitiga, baik itu segitiga sembarang, siku-siku, sama kaki ataupun sama sisi. Yang pasti untuk mencari volume pada limas segitiga ini anda harus menghitung terlebih dahulu luas alasnya. Pada segitiga juga secara umum mempunyai rumus luas yang sama yakni 1/2 alas dikali tinggi. Namun pada jenis segitiga yang berbeda maka yang disebut alas ataupun tinggi juga berbeda-beda.

Limas Segitiga
Volume Limas Segitiga = 1/3 x luas alas x tinggi

Coba anda perhatikan gambar limas segitiga di atas. Yang disebut dengan alas yaitu segitiga ABC dan yang disebut dengan tinggi limas yaitu jarak titik T ke bidang alas. Tapi untuk segitiga alas sendiri yang dimaksud dengan tinggi segitiga adalah belum bisa anda tentukan. Karena pada segitiga tersebut kita tidak tahu apakah termasuk segitiga siku-siku, sama kaki atau sama sisi.

Tapi jika misal sudut pada titik B adalah siku-siku maka yang disebut tinggi pada segitiga alas tersebut yakni sisi BC dan AB sebagai alas atau sebaliknya. Sehingga rumus luas segitiga tersebut adalah 1/2 x AB x BC. Tapi berbeda lagi hasilnya jika segitiga itu bukan segitiga siku-siku.

II. Limas Segi Empat

Limas Segi Empat
Volume Limas Segi Empat = 1/3 x luas alas x tinggi

Pada limas segi empat maka alas dari limas tersebut berbentuk segi empat. Untuk rumus volume limas segi empat sama saja dengan yang limas segitiga yaitu 1/3 dikali luas alas dikali tinggi. Untuk mencari luas segi empat tersebut tentunya anda sudah bisa. Karena anda tinggal mengalikan panjang dan lebar segi empat maka didapatlah luasnya.

Jika anda bertanya-tanya mengapa pada rumus volume limas ditentukan perkalian 1/3 maka jawabnya saya juga sama seperti anda. Saya tidak tahu pasti mengapa harus sepertiga. mengapa tidak seperempat atau seperlima. Mungkin ketentuan ini sudah melalui uji pembuktian akan kebenarannya oleh para ahli matematika.

Tapi yang saya heran mengapa pada limas yang mempunyai bentuk alas lingkaran disebut kerucut. Padahal dari ketentuan umum rumus volume antara keduanya sama yakni 1/3 dikali luas alas dikali tinggi. 

Jika anda ingin membagikan artikel March 2012 ini, maka anda harus mencantumkan link sumbernya. Terimakasih, semoga bermanfaat.

RUMUS TRIGONOMETRI

Sebenarnya saya juga tidak tahu persis definisi dari trigonometri itu sendiri. Yang saya tahu bahwa pada materi pelajaran trigonometri terdapat yang namanya sinus, cosinus dan tangen. Mungkin tiga kata tersebut yang dimaksuskan dengan kata 'tri' pada trigonometri. Dari bahasa yunani trigonometri berasal dari kata trigonon artinya tiga sudut dan metro artinya mengukur. Karena banyak versi yang saya baca dari internet dan saya tidak bisa menentukan siapa yang persisnya menemukan rumus trigonometri

Zaman dulu aplikasi trigonometri ini sudah sering digunakan oleh para ilmuwan matematikawan baik untuk menghitung jarak antara titik tertentu ataupun dalam astronomi digunakan untuk menghitung jarak bintang bintang terdekat.


Rumus Trigonometri


Pada segitiga siku-siku bisa diterapkan rumus trigonometri seperti gambar di atas. Sudut A adalah sebagai acuan. Misalnya untuk mencari panjang a kita bisa menggunakan rumus sin A = a/c, dengan besar sudut A dan panjang c yang diketahui. Dulu waktu di bangku sekolah ada trik agar mudah mengingat rumus dasar trigonometri pada segitiga siku ini. 

Sindepa = maksudnya sinus depan miring ; Sin A = a (depan) / c (miring)
Cosami = maksudnya cosinus samping miring ; Cos A = b (samping) / c (miring)
Tandesa = maksudnya tangen depan samping ; Tan A = a (depan) / b (samping)

Sehingga dengan mengetahui besar sudut A dan panjang salah satu sisi segitiga maka anda akan dapat mencari panjang semua sisi termasuk luas segitiga. Jadi selain rumus phytagoras ternyata rumus trigonometri juga bisa kita gunakan untuk mencari panjang sisi segitiga.

Berikut ini adalah sudut-sudut istimewa dalam trigonometri :


sudut-sudut istimewa trigonometri


Sebenarnya dulu saya juga kurang terlalu suka dengan materi trigonometri. Walaupun begitu jangan salah nilai matematika ane juga tetap oke. Pasalnya ane dulu sering maju ke depan kelas untuk menjawab soal matematika. Tapi yang ane heran setiap guru matematika sejak dari smp sampai sma kebanyakan manggil nama bekalang saya. Padahal guru-guru yang lain biasanya menggunakan nama depan.


Berikut ini rumus lain trigonometri :



Untuk rumus di atas adalah untuk penjumlahan dan pengurangan pada trigonometri. Walaupun kelihatannya rumit tapi bagi para penggila matematika persamaan di atas sangatlah mudah untuk dipahami. Bahkan bagi yang sangat sudah ahli biasanya bisa menentukan rumus buatan sendiri.

Trigonometri Penjumlahan Menjadi Perkalian :
sin 
a + sin b   = 2 sin a + b    cos a - b
                                2              2
sin 
a - sin b   = 2 cos a + b    sin a - b
                                2             2
cos 
a + cos b = 2 cos a + b    cos a - b
                                 2              2
cos 
a + cos b = - 2 sin a + b   sin a - b
                                  2             2
Trigonometri Perkalian Menjadi Penjumlahan :
2 sin
 a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos
 a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos
 a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

Menurut saya beberapa formula diatas sudah mewakili rumus trigonometri lengkap pada materi umum trigonometri. Memang ada lagi penerapan trigonometri pada rumus fungsi, turunan atau lainnya. Tapi jika harus disebutkan satu-persatu mungkin saya tidak sanggup...haha.
Jika anda ingin membagikan artikel March 2012 ini, maka anda harus mencantumkan link sumbernya. Terimakasih, semoga bermanfaat.

RUMUS BALOK | RUMUS VOLUME BALOK

Jika pada kubus terbentuk oleh 6 (enam) buah sisi datar yang berbentuk persegi, maka lain halnya pada balok. Balok juga termasuk salah satu dari bangun ruang. Balok memilki sisi-sisi yang berbentuk empat persegi panjang. Beda antara persegi dengan empat persegi panjang adalah bahwa pada persegi sisi-sisinya semuanya sama panjang sedangkan pada empat persegi panjang memilki panjang dan lebar yang tidak sama panjang. Tetapi bentuk keduanya memiliki bentuk segi empat. Menentukan rumus balok sebenarnya sangat mudah yaitu luas salah satu sisi persegi panjang dikalikan dengan panjang rusuk yang tegak lurus terhadap sisi tersebut.

Banyak sekali benda-benda yang berbentuk balok. Baik itu balok kayu, balok beton, balok besi dan banyak lagi lainnya. Yang pasti benda tersebut memilki permukaan sisi berbentuk empat persegi panjang. 

Gambar Balok
Coba anda perhatikan gambar balok di atas. Pada balok tersebut terdapat empat buah sisi dengan luas yang sama dan dua buah sisi dengan luas yang sama.

Persegi panjang ABCD = ABEF = EFGH = CDGH
Persegi panjang BCFG = ADEH

Untuk menghitung rumus volume pada balok tersebut adalah :

Volume balok 1 = p x l x t
          atau
Volume balok 2 = Luas ABCD x t
          atau
Volume balok 3 = Luas BCFG x p

Pada ilmu matematika yang paling saya sukai adalah karena jawabannya adalah kepastian. Sehingga jawabannya tidak perlu menimbulkan perdebatan panjang lebar yang tidak berujung seperti halnya yang ada pada dunia politik kita saat ini. Haha..ha... makanya saya tidak tertarik pada duia politik ( maaf ya jika anda salah satu kader partai politik), mungkin saya yang mendefinisikan terlalu sempit. 

Kalau saya tidak salah ingat untuk materi bangun ruang ini dibangku SD juga sudah diajarkan dalam penjelasan sederhana. Kemudian dibangku SLTP dibahas lagi dengan penjabaran yang lebih mendalam. Saya termasuk salah satu yang sangat senang maju ke depan kelas untuk menjawab soal-soal dari guru matematika. Tidak perlu takut jawaban anda didebat oleh orang lain karena jawabannya adalah pasti.

Rumus luas permukaan balok adalah jumlah luas dari ke enam sisi balok. Tentunya ada cara cepat untuk menghitungnya dibanding anda harus meencari luas masing-masing sisi balok terlebih dahulu.
Jika anda ingin membagikan artikel March 2012 ini, maka anda harus mencantumkan link sumbernya. Terimakasih, semoga bermanfaat.

RUMUS KUBUS | RUMUS VOLUME KUBUS

Jika anda memiliki suatu kotak kardus dirumah yang merupakan sisa kemasan barang elektronik dan pada kardus tersebut memilki panjang pada setiap sisi adalah sama maka kardus tersebut bisa disebut sebagai kubus. Kubus dalam matematika disebut juga sebagai sebuah bangun ruang. Itu karena kebus memilki bentuk 3 (tiga) dimesi sehingga kubus memilki volume atau isi. Jika anda coba mengamati kotak kardus yang berbentuk kubus tersebut maka sebenarnya pada kubus tersebut adalah terbentuk dari 6 (enam) buah bangun datar persegi.

Gambar Kubus

Untuk menentukan rumus volume pada kubus sebenarnya tidak terlalu sulit jika anda memahami perhitungan luas pada persegi. Dengan hanya mengetahui panjang satu buah rusuk pada kubus maka anda sudah bisa mendapatkan volume dari kubus tersebut. Mengapa demikian karena pada kubus memilki 12 rusuk dengan panjang yang sama. Rumus volume kubus adalah rusuk pangkat tiga (rusuk x rusuk x rusuk). Atau bisa juga luas salah satu sisi dikali rusuk.

Coba anda perhatikan gambar kubus di atas :

Rusuk = AE = AB = AD = BC = BF = CD = CG = DH = EF = EH = FG = HG
Sisi Kubus = ABEF = BCFG = EFGH = ADEH = ABCD = CDGH

Ke enam sisi pada kubus tersebut semuanya berbentuk persegi sehingga semuanya memilki luas yang sama. 

Sore-sore sambil merokok dan bernyanyi lagu dangdut dengan teman sekantor membuat kepala sedikit pusing untuk berpikir mengenai matematika. Tapi apa boleh buat saya ingin sekali menambah artikel saya sebanyak-banyaknya tentang matematika. Anda juga mungkin lebih paham dibanding saya mengenai materi bangun ruang ini. Jadi jika anda punya trik-trik cepat dalam menentukan rumus anda bisa menambahkan di kotak komentar.

Pernahkah anda waktu masih kecil dulu bermain kubus rubik. Kubus rubuk ini memilki sisi dengan warda yang berbeda-beda. Kita harus menyusun kubus tersebut supaya keenam sisi memilki warna yang sama. Saya juga pernah mencoba dan ternyata sangat sulit. Jujur saja jika anda bisa menyusun kubus rubuk tersebut tanpa bantuan rumus kubus rubik yang sudah ditemukan maka saya sebut anda sangat jenius.

Jika anda ingin membagikan artikel March 2012 ini, maka anda harus mencantumkan link sumbernya. Terimakasih, semoga bermanfaat.

RUMUS BANGUN DATAR LENGKAP

Beberapa contoh bangun datar yang ada disini terdapat rumus lengkap seperti rumus luas, rumus keliling, rumus panjang, rumus lebar, rumus tinggi, rumus jari-jari dan rumus diameter. Walaupun mungkin penjelasannya pada postingan tersendiri. Karena di halaman ini saya buatkan secara ringkas.

Mengapa suatu bangun disebut sebagai bangun datar ?

Pengertian bangun datar yaitu suatu bangun yang hanya memiliki bentuk 2 (dua) dimensi atau dengan kata lain bangun tersebut hanya berbentuk bidang rata dan tidak memilki isi. Untuk lebih mudahnya anda bisa mengamati suatu helai kertas, dimana pada kertas tersebut hanya memilki dimensi panjang dan lebar tetapi tidak memiliki tinggi layaknya sebuah buku. Untuk suatu bangun yang juga memilki bentuk 3 (tiga) dimensi seperti halnya sebuah buku maka bangun tersebut disebut bangun ruang. 

Atau dengan kata lain jika kita mengamati sebuah benda contohnya sebuah piramid, yang disebut dengan bangun datar pada piramid tersebut adalah sisi permukaan yang berbentuk segitiga. Sedangkan piramid itu sendiri disebut sebagai bangun ruang. Pada bangun datar tidak harus selalu bebentuk segi empat atau segitiga. Apapun bentuk atau pola bangun tersebut yang pasti jika tidak memilki isi atau ruang maka bangun tersebut adalah bangun datar. Untuk mudahnya bangun datar pada suatu benda adalah permukaannya saja. 

Yang termasuk dalam kelompok bangun datar

Sebenarnya yang termasuk kedalam bangun datar itu banyak sekali mulai dari yang segi empat sampai yang tidak beraturan. Kali ini saya hanya memberi beberapa contoh. Tugas anda untuk mencari contoh-contoh bangun lain yang termasuk kategori bangun datar secara lengkap. Tetapi di dalam matematika contoh-contoh bangun datar yang umum adalah sebagai berikut :
1. Persegi
2. Empat Persegi Panjang
3. Segitiga
4. Lingkaran
5. Trapesium
6. Jajaran Genjang
7. Segi Lima
8. Layang-Layang
9. Dll

Apakah rumus dari semua bangun datar di bawah adalah lengkap ?

Jawabnya : Lengkap, tapi itu jika acuannya yaitu rumus-rumus yang umum digunakan dalam matematika. Untuk semua variasi rumus mungkin tidak muat jika harus dituliskan semua. Pada setiap bangun datar memilki rumus untuk luas dan keliling yang berbeda-beda tergantung bentuk dari bangun datar itu sendiri. Tetapi yang pasti menurut saya pribadi rumus-rumus untuk bangun datar tidak terlalu sulit seperti halnya pada bangun ruang.

1. Rumus luas persegi = sisi x sisi
2. Rumus keliling persegi = Sisi x 4
3. Rumus luas empat persegi panjang = panjang x lebar
4. Rumus luas keliling empat persegi panjang = 2 x (panjang + lebar)
5. Rumus luas segitiga = 1/2 x alas x tinggi
6. Rumus keliling segitiga = jumlah panjang ketiga sisi segitiga
7. Rumus luas trapesium = 1/2 x jumlah sisi sejajar x tinggi
8. Rumus luas lingkaran = pi x jari-jari x jari-jari
9 dsb

Sebenarnya untuk bahasan saya mengenai bangun datar ini sangatlah sederhana sekali. Saya mencoba untuk menjelaskan mengenai bangun datar tersebut dari sisi pemikiran sederhana saja. Setidaknya untuk para murid SD dan SMP penjelasan ini tidak sulit untuk dipahami. Tetapi untuk penjelasan tingkat lanjut mungkin para pembaca bisa menambahkan di kotak komentar.

Artikel yang berhubungan dengan rumus bangun.
 
Jika anda ingin membagikan artikel March 2012 ini, maka anda harus mencantumkan link sumbernya. Terimakasih, semoga bermanfaat.